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औसत

'औसत' शब्द का अर्थ 'मध्य' या 'केंद्रीय' बिंदु है। शब्द एक संख्या को संदर्भित करता है जो संख्याओं या डेटा सेट के समूह का एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व है। औसत की गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है, यहां हम सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले लोगों को कवर कर रहे हैं: माध्य, माध्यिका और बहुलक। जब 'औसत' शब्द का प्रयोग गणितीय अर्थ में किया जाता है, तो यह आमतौर पर माध्य को संदर्भित करता है, खासकर जब कोई अन्य जानकारी नहीं दी जाती है। माध्य, माध्यिका और बहुलक के संदर्भ में केन्द्रीय प्रवृत्ति अधिक उपयुक्त शब्द है। केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप एक एकल मान है जो डेटा के उस सेट के भीतर केंद्रीय स्थिति की पहचान करके डेटा के एक सेट का वर्णन करने का प्रयास करता है।

अर्थ

अवर्गीकृत या अपरिष्कृत आँकड़ों का माध्य सभी प्रेक्षणों को जोड़कर और कुल को प्रेक्षणों की संख्या से भाग देकर प्राप्त किया जाता है। यदि x ₁ , x ₂ , x ₃ ,...x _n n अवलोकन हों, तो उनका माध्य \(\bar x\) द्वारा दर्शाया जाता है।
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)

माध्य = प्रेक्षणों का योग/प्रेक्षणों की संख्या

उदाहरण 1: कक्षा आठ के छात्रों द्वारा प्राप्त अंक 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 और 9 हैं। माध्य अंक ज्ञात कीजिए।
कक्षा में छात्रों की संख्या 8 है।
प्राप्त अंकों का योग, \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)

उदाहरण 2: यदि 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 और 3 का माध्य 9 है। x का मान ज्ञात कीजिए।
अवलोकन की संख्या 6 . है
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)

\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
एक्स = 5

सारणीबद्ध डेटा का अंकगणितीय माध्य

यदि n प्रेक्षणों की आवृत्ति x ₁ , x ₂ , x ₃ ,...x _n क्रमशः f ₁ , f ₂ , f ₃ ,...f _n हो, तो उनका \(\bar x\) है

\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)

\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)

उदाहरण 1: निम्नलिखित बंटन का माध्य ज्ञात कीजिए

समाधान:

\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)

तरीका

सांख्यिकीय डेटा का तरीका सबसे अधिक बार होने वाली विविधता है। इस प्रकार बहुलक उस चर का मान है जिसकी आवृत्ति अधिकतम होती है । उदाहरण के लिए, निम्नलिखित आंकड़ों में 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
संख्या 4 3 बार (अधिकतम) आती है इसलिए 4 इस श्रृंखला की विधा है।
यह आवश्यक नहीं है कि डेटा में केवल एक ही विधा हो। आइए कुछ उदाहरण देखें:
उदाहरण 1: निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए: 2, 3, 8, 9, 4
चूंकि प्रत्येक संख्या केवल एक बार आती है और इसलिए इसका कोई बहुलक नहीं होता है।

उदाहरण 2: आँकड़ों में 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7- 2 और 6 दोनों बहुलक हैं।

उदाहरण 3: निम्नलिखित आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए:

एक बारंबारता बंटन में बहुलक उस चर का मान होता है जिसकी आवृत्ति सबसे अधिक होती है। इस वितरण का तरीका 32" शर्ट है।

मंझला

यदि दिए गए प्रेक्षणों को एक क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, अधिमानतः सबसे छोटे से सबसे बड़े तक, तो माध्यिका को मध्य प्रेक्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि प्रेक्षणों की संख्या विषम है। यदि प्रेक्षणों की संख्या सम है तो दो मध्य प्रेक्षणों का माध्य माध्यिका है। इसलिए माध्यिका के ऊपर और नीचे समान संख्या में प्रेक्षण होंगे।

यदि प्रेक्षणों की संख्या n है तो
माध्यिका = \(\frac{(n + 1)}{2 }\) ^वें प्रेक्षण का मान यदि n विषम है
= \(\frac{n}{2}\) ^वें और \((\frac{n}{2} + 1)\) ^वें प्रेक्षणों का माध्य यदि n सम है

उदाहरण 1: मानों की माध्यिका ज्ञात कीजिए: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
चूंकि n 7 है इसलिए माध्यिका (7+1)∕2 = 4 ^वां अवलोकन का मान है। 10 माध्यिका है।

उदाहरण 2: मानों की माध्यिका ज्ञात कीजिए: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
चूँकि n 8 है इसलिए माध्यिका 4 ^वें और 5 ^वें प्रेक्षण का माध्य है। = (30 + 31) 2 = 61/2 = 30.5

केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अच्छा उपाय क्या है?
माध्य केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला माप है क्योंकि यह औसत की गणना के लिए डेटा सेट में सभी मानों का उपयोग करता है। लेकिन ऐसे मामलों में जहां आपके डेटा में आउटलेयर हैं, माध्यिका एक बेहतर विकल्प है। आउटलेयर वे मान हैं जो संख्यात्मक मान में विशेष रूप से छोटे या बड़े होने के कारण सेट किए गए बाकी डेटा की तुलना में असामान्य हैं। मोड ही एकमात्र उपाय है जिसका उपयोग आप श्रेणीबद्ध डेटा के लिए कर सकते हैं जिसे ऑर्डर नहीं किया जा सकता है।