Izraz 'prosjek' odnosi se na 'srednju' ili 'središnju' točku. Pojam se odnosi na broj koji je tipičan prikaz grupe brojeva ili skupa podataka. Prosjeci se mogu izračunati na različite načine, a ovdje pokrivamo one koji se najčešće koriste: srednju vrijednost, medijan i način. Kada se izraz 'prosjek' koristi u matematičkom smislu, obično se odnosi na srednju vrijednost, posebno kada nisu navedene nikakve druge informacije. Središnja tendencija prikladnija je riječ za označavanje srednje vrijednosti, medijana i načina. Mjera središnje tendencije je jedna vrijednost koja pokušava opisati skup podataka identificiranjem središnjeg položaja unutar tog skupa podataka.
Srednja vrijednost negrupiranih ili neobrađenih podataka dobiva se zbrajanjem svih opažanja i dijeljenjem ukupnog broja s brojem opažanja. Ako su x 1 , x 2 , x 3 ,...x n n opažanja, tada je njihova sredina označena s \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Srednja vrijednost = Zbroj opažanja/Broj opažanja
Primjer 1: Ocjene koje su postigli učenici osmog razreda su 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 i 9. Odredite srednje ocjene.
Broj učenika u razredu je 8.
Zbroj postignutih bodova, \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Primjer 2: Ako je srednja vrijednost 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 i 3 9. Pronađite vrijednost x.
Broj promatranja je 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Aritmetička sredina tabličnih podataka
Ako je učestalost n opažanja x 1 , x 2 , x 3 ,...x n redom f 1 , f 2 , f 3 ,...f n , tada je njihov \(\bar x\)
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Primjer 1: Pronađite srednju vrijednost za sljedeću distribuciju
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Riješenje:
| x | f | fx |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
Način statističkih podataka je varijabla koja se najčešće pojavljuje. Dakle, mod je vrijednost one varijable koja ima maksimalnu frekvenciju . Na primjer, u sljedećim podacima 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
Broj 4 pojavljuje se 3 puta (maksimalno), tako da je 4 način ove serije.
Nije nužno da u podacima može postojati samo jedan način. Pogledajmo nekoliko primjera:
Primjer 1: Pronađite način sljedećih podataka: 2, 3, 8, 9, 4
Kako se svaki broj pojavljuje samo jednom i stoga nema način.
Primjer 2: U podacima 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7- 2 i 6 su oba načina.
Primjer 3: Pronađite način sljedećih podataka:
| Veličina košulje (u inčima) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Broj prodanih košulja | 45 | 35 | 15 | 40 |
U distribuciji frekvencije mod je vrijednost one varijable koja ima najveću frekvenciju. Način ove distribucije je 32" košulja.
Ako su dana opažanja poredana redom, po mogućnosti od najmanjeg prema najvećem, medijan se definira kao srednje opažanje ako je broj opažanja neparan. Ako je broj promatranja paran, tada je srednja vrijednost dvaju srednjih promatranja medijan. Stoga će postojati jednak broj opažanja iznad i ispod medijana.
Ako je broj opažanja n tada
Medijan = vrijednost \(\frac{(n + 1)}{2 }\) tog opažanja ako je n neparan
= srednja vrijednost \(\frac{n}{2}\) th i \((\frac{n}{2} + 1)\) th promatranja ako je n paran
Primjer 1: Odredite medijan vrijednosti: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Poredajte podatke uzlaznim redoslijedom: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Budući da je n 7, medijan je vrijednost (7+1)∕2 = 4. promatranje. 10 je medijan.
Primjer 2: Nađite medijan vrijednosti: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Poredaj podatke uzlaznim redoslijedom: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Kako je n 8, stoga je medijan srednja vrijednost 4. i 5. promatranja. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
Koja je najbolja mjera središnje tendencije?
Srednja vrijednost je najčešće korištena mjera središnje tendencije jer koristi sve vrijednosti u skupu podataka za izračun prosjeka. Ali u slučajevima kada vaši podaci imaju odstupanja, medijan je bolja opcija. Outlieri su vrijednosti koje su neobične u usporedbi s ostatkom skupa podataka jer su posebno male ili velike u numeričkoj vrijednosti. Način je jedina mjera koju možete koristiti za kategoričke podatke koji se ne mogu poredati.
