Il termine "medio" si riferisce al punto "medio" o "centrale". Il termine si riferisce a un numero che è una rappresentazione tipica di un gruppo di numeri o set di dati. Le medie possono essere calcolate in diversi modi, qui ci occupiamo di quelli più comunemente usati: la media, la mediana e la moda. Quando il termine "media" è usato in senso matematico, di solito si riferisce alla media, soprattutto quando non vengono fornite altre informazioni. La tendenza centrale è una parola più appropriata per riferirsi a media, mediana e moda. Una misura di tendenza centrale è un singolo valore che tenta di descrivere un insieme di dati identificando la posizione centrale all'interno di tale insieme di dati.
La media dei dati non raggruppati o grezzi si ottiene sommando tutte le osservazioni e dividendo il totale per il numero di osservazioni. Se x 1 , x 2 , x 3 ,...x n be n osservazioni, allora la loro media è indicata da \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Media = Somma delle osservazioni/Numero di osservazioni
Esempio 1: I voti ottenuti dagli studenti della classe otto sono 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 e 9. Determinare la media dei voti.
Il numero di studenti nella classe è 8.
Somma dei voti ottenuti , \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Esempio 2: se la media di 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 e 3 è 9. Trova il valore di x.
Il numero di osservazioni è 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Media aritmetica dei dati tabulati
Se la frequenza di n osservazioni x 1 , x 2 , x 3 ,...x n è f 1 , f 2 , f 3 ,...f n rispettivamente, allora la loro \(\bar x\) è
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Esempio 1: trova la media per la seguente distribuzione
| X | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Soluzione:
| X | f | fx |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
La modalità dei dati statistici è la variazione che si verifica più frequentemente. Pertanto, la modalità è il valore di quella variabile che ha una frequenza massima . Ad esempio, nei seguenti dati 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
Il numero 4 ricorre 3 volte (massimo), quindi 4 è la modalità di questa serie.
Non è necessario che nei dati ci possa essere una sola modalità. Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1: trovare la moda dei seguenti dati: 2, 3, 8, 9, 4
Poiché ogni numero ricorre una sola volta e quindi non ha modalità.
Esempio 2: Nei dati 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7- 2 e 6 sono entrambi modi.
Esempio 3: trova la modalità dei seguenti dati:
| Taglia della camicia (in pollici) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Numero di magliette vendute | 45 | 35 | 15 | 40 |
In una distribuzione di frequenza, la modalità è il valore di quella variabile che ha la frequenza più alta. La modalità di questa distribuzione è la maglia da 32 pollici.
Se le osservazioni date sono disposte in un ordine, preferibilmente dalla più piccola alla più grande, la mediana è definita come l'osservazione media se il numero di osservazioni è dispari. Se il numero di osservazioni è pari, la media delle due osservazioni centrali è la mediana. Pertanto ci sarà un numero uguale di osservazioni sopra e sotto la mediana.
Se il numero di osservazioni è n allora
Mediana = valore di \(\frac{(n + 1)}{2 }\) esima osservazione se n è dispari
= media di \(\frac{n}{2}\) esima e \((\frac{n}{2} + 1)\) esima osservazione se n è pari
Esempio 1: determinare la mediana dei valori: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Disporre i dati in ordine crescente: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Poiché n è 7, la mediana è il valore di (7+1)∕2 = 4a osservazione. 10 è la mediana.
Esempio 2: trova la mediana dei valori: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Disporre i dati in ordine crescente: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Poiché n è 8, la mediana è la media della 4a e 5a osservazione. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
Qual è la migliore misura della tendenza centrale?
La media è la misura più comunemente usata della tendenza centrale perché utilizza tutti i valori nel set di dati per calcolare la media. Ma nei casi in cui i tuoi dati hanno valori anomali, la mediana è un'opzione migliore. I valori anomali sono valori insoliti rispetto al resto del set di dati essendo particolarmente piccoli o grandi in valore numerico. La modalità è l'unica misura che puoi usare per i dati categorici che non possono essere ordinati.
