De term 'gemiddeld' verwijst naar het 'middelste' of 'centrale' punt. De term verwijst naar een getal dat een typische weergave is van een groep getallen of een gegevensset. Gemiddelden kunnen op verschillende manieren worden berekend, hier behandelen we de meest gebruikte: het gemiddelde, de mediaan en de modus. Wanneer de term 'gemiddeld' in wiskundige zin wordt gebruikt, verwijst het meestal naar het gemiddelde, vooral als er geen andere informatie wordt gegeven. Centrale tendens is een meer geschikt woord om te verwijzen naar gemiddelde, mediaan en modus. Een maatstaf voor centrale tendens is een enkele waarde die probeert een set gegevens te beschrijven door de centrale positie binnen die set gegevens te identificeren.
Het gemiddelde van de niet-gegroepeerde of onbewerkte gegevens wordt verkregen door alle waarnemingen bij elkaar op te tellen en het totaal te delen door het aantal waarnemingen. Als x 1 , x 2 , x 3 ,...x n n waarnemingen zijn, dan wordt hun gemiddelde aangegeven met \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Gemiddelde = Som van de waarnemingen/Aantal waarnemingen
Voorbeeld 1: De cijfers van de leerlingen van klas acht zijn 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 en 9. Bepaal de gemiddelde cijfers.
Het aantal leerlingen in de klas is 8.
Som van gescoorde punten , \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Voorbeeld 2: Als het gemiddelde van 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 en 3 gelijk is aan 9. Zoek de waarde van x.
Aantal waarnemingen is 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Rekenkundig gemiddelde van getabelleerde gegevens
Als de frequentie van n waarnemingen x 1 , x 2 , x 3 ,...x n respectievelijk f 1 , f 2 , f 3 ,...f n zijn, dan is hun \(\bar x\)
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Voorbeeld 1: Vind het gemiddelde voor de volgende verdeling
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Oplossing:
| x | f | fx |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
Wijze van statistische gegevens is de variant die het vaakst voorkomt. De modus is dus de waarde van die variabele die een maximale frequentie heeft . Bijvoorbeeld in de volgende gegevens 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
Nummer 4 komt 3 keer (maximaal) voor, dus 4 is de modus van deze reeks.
Het is niet nodig dat er in gegevens slechts één modus kan zijn. Laten we een paar voorbeelden bekijken:
Voorbeeld 1: Zoek de modus van de volgende gegevens: 2, 3, 8, 9, 4
Omdat elk getal maar één keer voorkomt en daarom geen modus heeft.
Voorbeeld 2: In de gegevens zijn 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7-2 en 6 beide modi.
Voorbeeld 3: Zoek de modus van de volgende gegevens:
| Shirtmaat (in inches) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Aantal verkochte overhemden | 45 | 35 | 15 | 40 |
In een frequentieverdeling is de modus de waarde van die variatie met de hoogste frequentie. De modus van deze distributie is 32" shirt.
Als de gegeven waarnemingen in een volgorde zijn gerangschikt, bij voorkeur van de kleinste naar de grootste, wordt de mediaan gedefinieerd als de middelste waarneming als het aantal waarnemingen oneven is. Als het aantal waarnemingen even is, is het gemiddelde van de twee middelste waarnemingen de mediaan. Er zullen dus evenveel waarnemingen boven als onder de mediaan zijn.
Als het aantal waarnemingen n is, dan
Mediaan = waarde van \(\frac{(n + 1)}{2 }\) de waarneming als n oneven is
= gemiddelde van \(\frac{n}{2}\) de en \((\frac{n}{2} + 1)\) de waarnemingen als n even is
Voorbeeld 1: Bepaal de mediaan van de waarden: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Rangschik gegevens in oplopende volgorde: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Aangezien n 7 is, is mediaan de waarde van (7+1)∕2 = 4 de waarneming. 10 is de mediaan.
Voorbeeld 2: Zoek de mediaan van waarden: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Rangschik gegevens in oplopende volgorde: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Aangezien n 8 is, is mediaan het gemiddelde van de 4e en 5e waarneming. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30.5
Wat is de beste maatstaf voor centrale tendens?
Het gemiddelde is de meest gebruikte maatstaf voor centrale tendens omdat het alle waarden in de dataset gebruikt om het gemiddelde te berekenen. Maar in gevallen waarin uw gegevens uitbijters hebben, is de mediaan een betere optie. Uitbijters zijn waarden die ongebruikelijk zijn in vergelijking met de rest van de dataset omdat ze bijzonder klein of groot zijn in numerieke waarde. De modus is de enige maatstaf die u kunt gebruiken voor categorische gegevens die niet kunnen worden besteld.
