Термин «среднее» относится к «средней» или «центральной» точке. Термин относится к числу, которое является типичным представлением группы чисел или набора данных. Средние значения можно рассчитать разными способами, здесь мы рассмотрим наиболее часто используемые из них: среднее значение, медиану и моду. Когда термин «среднее» используется в математическом смысле, он обычно относится к среднему значению, особенно когда не дается никакой другой информации. Центральная тенденция является более подходящим словом для обозначения среднего значения, медианы и моды. Мера центральной тенденции — это отдельное значение, которое пытается описать набор данных, определяя центральное положение в этом наборе данных.
Среднее значение несгруппированных или необработанных данных получается путем сложения всех наблюдений и деления суммы на количество наблюдений. Если x 1 , x 2 , x 3 ,...x n - n наблюдений, то их среднее значение обозначается \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Среднее значение = сумма наблюдений/количество наблюдений
Пример 1: Учащиеся восьмого класса получили оценки 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 и 9. Определите средние оценки.
Количество учеников в классе 8.
Сумма набранных баллов, \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Пример 2: Если среднее 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 и 3 равно 9. Найдите значение x.
Количество наблюдений 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ х = 5
Среднее арифметическое табличных данных
Если частота n наблюдений x 1 , x 2 , x 3 ,... x n равна f 1 , f 2 , f 3 ,... f n соответственно, то их \(\bar x\) равно
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Пример 1: найти среднее значение для следующего распределения
| Икс | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| ф | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Решение:
| Икс | ф | FX |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
Мода статистических данных - это вариация, которая встречается чаще всего. Таким образом, модой является значение той переменной, которая имеет максимальную частоту . Например, в следующих данных 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
Число 4 встречается 3 раза (максимум), поэтому 4 — модус этой серии.
Не обязательно, что в данных может быть только один режим. Давайте посмотрим несколько примеров:
Пример 1: Найдите режим следующих данных: 2, 3, 8, 9, 4
Поскольку каждое число встречается только один раз и, следовательно, не имеет вида.
Пример 2: В данных 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7-2 и 6 оба режима.
Пример 3: Найдите режим следующих данных:
| Размер рубашки (в дюймах) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Количество проданных рубашек | 45 | 35 | 15 | 40 |
В частотном распределении модой является значение той переменной, которая имеет наибольшую частоту. Мода этой раздачи - рубашка 32 дюйма.
Если данные наблюдения расположены в порядке, предпочтительно от меньшего к большему, медиана определяется как среднее наблюдение, если число наблюдений нечетное. Если количество наблюдений четное, то среднее значение двух средних наблюдений является медианой. Следовательно, будет равное количество наблюдений выше и ниже медианы.
Если количество наблюдений равно n, то
Медиана = значение \(\frac{(n + 1)}{2 }\) - го наблюдения, если n нечетно
= среднее значение \(\frac{n}{2}\) - го и \((\frac{n}{2} + 1)\) - го наблюдения, если n четно
Пример 1: Определить медиану значений: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Расположите данные в порядке возрастания: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Поскольку n равно 7, медиана представляет собой значение (7+1)∕2 = 4 -е наблюдение. 10 - это медиана.
Пример 2. Найдите медиану значений: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40.
Расположите данные в порядке возрастания: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Поскольку n равно 8, медиана является средним значением 4 -го и 5 -го наблюдений. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
Что является наилучшей мерой центральной тенденции?
Среднее значение является наиболее часто используемой мерой центральной тенденции, поскольку оно использует все значения в наборе данных для расчета среднего значения. Но в тех случаях, когда в ваших данных есть выбросы, лучше использовать медиану. Выбросы — это значения, которые необычны по сравнению с остальным набором данных, поскольку они особенно малы или велики по числовому значению. Мода — это единственная мера, которую можно использовать для категорийных данных, которые нельзя упорядочить.
