Termen "genomsnitt" hänvisar till "mitten" eller "central" punkten. Termen hänvisar till ett tal som är en typisk representation av en grupp av tal eller datamängder. Medelvärden kan beräknas på olika sätt, här täcker vi de vanligaste: medelvärde, median och läge. När termen 'genomsnitt' används i matematisk mening syftar det vanligtvis på medelvärdet, särskilt när ingen annan information ges. Central tendens är ett mer lämpligt ord att referera till medelvärde, median och läge. Ett mått på central tendens är ett enskilt värde som försöker beskriva en uppsättning data genom att identifiera den centrala positionen inom den datauppsättningen.
Medelvärdet av de ogrupperade eller rådata erhålls genom att lägga till alla observationer och dividera summan med antalet observationer. Om x 1 , x 2 , x 3 ,...x n är n observationer, så betecknas deras medelvärde med \(\bar x\) .
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Medel = Summan av observationerna/Antal observationer
Exempel 1: Betygen för elever i klass åtta är 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 och 9. Bestäm medelbetygen.
Antal elever i klassen är 8.
Summan av poäng \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Exempel 2: Om medelvärdet av 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 och 3 är 9. Hitta värdet på x.
Antalet observationer är 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Aritmetiskt medelvärde av tabellerade data
Om frekvensen av n observationer x 1 , x 2 , x 3 ,...x n är f 1 , f 2 , f 3 ,...f n respektive, så är deras \(\bar x\)
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Exempel 1: Hitta medelvärdet för följande fördelning
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Lösning:
| x | f | t.ex |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
Läget för statistisk data är den variant som förekommer oftast. Således är läget värdet på den variabel som har en maximal frekvens . Till exempel, i följande data 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
Nummer 4 förekommer 3 gånger (maximalt) så 4 är läget för denna serie.
Det är inte nödvändigt att det i data bara kan finnas ett läge. Låt oss se några exempel:
Exempel 1: Hitta läget för följande data: 2, 3, 8, 9, 4
Eftersom varje nummer bara förekommer en gång och därför inte har något läge.
Exempel 2: I data är 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7-2 och 6 båda lägena.
Exempel 3: Hitta läget för följande data:
| Skjortstorlek (i tum) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Antal sålda skjortor | 45 | 35 | 15 | 40 |
I en frekvensfördelning är läget värdet på den variant som har den högsta frekvensen. Läget för denna distribution är 32" skjorta.
Om de givna observationerna är ordnade i en ordning, helst från den minsta till den största, definieras medianen som den mellersta observationen om antalet observationer är udda. Om antalet observationer är jämnt är medelvärdet av de två mittersta observationerna medianen. Därför blir det lika många observationer över och under medianen.
Om antalet observationer är n då
Median = värdet av \(\frac{(n + 1)}{2 }\) e observationen om n är udda
= medelvärde av \(\frac{n}{2}\) th och \((\frac{n}{2} + 1)\) th observationer om n är jämnt
Exempel 1: Bestäm medianen för värdena: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Ordna data i stigande ordning: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
Eftersom n är 7 så är medianen värdet av (7+1)∕2 = 4: e observationen. 10 är medianen.
Exempel 2: Hitta medianen för värden: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Ordna data i stigande ordning: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
Eftersom n är 8 så är medianen medelvärdet av den 4 :e och 5: e observationen. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
Vilket är det bästa måttet på central tendens?
Medelvärdet är det vanligaste måttet på central tendens eftersom det använder alla värden i datamängden för att beräkna medelvärdet. Men i fall där din data har extremvärden är medianen ett bättre alternativ. Outliers är värden som är ovanliga jämfört med resten av datamängden genom att vara särskilt små eller stora i numeriskt värde. Läget är det enda måttet du kan använda för kategorisk data som inte kan beställas.
