'Ortalama' terimi, 'orta' veya 'merkezi' noktayı ifade eder. Terim, bir sayı grubunun veya veri kümesinin tipik bir temsili olan bir sayıyı ifade eder. Ortalamalar farklı şekillerde hesaplanabilir, burada en sık kullanılanları ele alıyoruz: ortalama, medyan ve mod. "Ortalama" terimi matematiksel anlamda kullanıldığında, özellikle başka hiçbir bilgi verilmediğinde, genellikle ortalamayı ifade eder. Merkezi eğilim , ortalama, medyan ve modu ifade etmek için daha uygun bir kelimedir. Merkezi eğilim ölçüsü, bir veri kümesi içindeki merkezi konumu tanımlayarak bir veri kümesini tanımlamaya çalışan tek bir değerdir.
Gruplanmamış veya ham verilerin ortalaması, tüm gözlemlerin toplanması ve toplamın gözlem sayısına bölünmesiyle elde edilir. x 1 , x 2 , x 3 ,...x n n gözlem ise, ortalamaları \(\bar x\) ile gösterilir.
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
Ortalama = Gözlemlerin toplamı/Gözlem sayısı
Örnek 1: Sekizinci sınıf öğrencilerinin aldıkları notlar 3, 5, 7, 10, 4, 6, 8 ve 9'dur. Ortalama notları belirleyiniz.
Sınıftaki öğrenci sayısı 8'dir.
Puanların toplamı , \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
Örnek 2: 9, 14, x + 3, 12, 2x - 1 ve 3'ün ortalaması 9 ise x'in değerini bulunuz.
Gözlem sayısı 6
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
Tablolandırılmış Verilerin Aritmetik Ortalaması
n gözlemin sıklığı sırasıyla x 1 , x 2 , x 3 ,...x n f 1 , f 2 , f 3 ,...f n ise, o zaman bunların \(\bar x\) 'si
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
Örnek 1: Aşağıdaki dağılımın ortalamasını bulun
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
Çözüm:
| x | f | döviz |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
İstatistiksel verilerin modu, en sık görülen değişkendir. Böylece mod, maksimum frekansa sahip değişkenin değeridir . Örneğin aşağıdaki verilerde 2, 3, 4, 5, 4, 4, 5, 3, 7
4 sayısı 3 kez (maksimum) geçer, bu nedenle 4 bu serinin modudur.
Veride yalnızca bir mod olması gerekli değildir. Birkaç örnek görelim:
Örnek 1: Aşağıdaki verilerin modunu bulun: 2, 3, 8, 9, 4
Her sayı yalnızca bir kez geçtiğinden ve dolayısıyla modu yoktur.
Örnek 2: Verilerde 2, 2, 2, 3, 4, 4, 6, 6, 6, 7- 2 ve 6'nın her ikisi de moddur.
Örnek 3: Aşağıdaki verilerin modunu bulun:
| Gömlek boyutu (inç olarak) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| Satılan gömlek sayısı | 45 | 35 | 15 | 40 |
Bir frekans dağılımında mod, en yüksek frekansa sahip değişkenin değeridir. Bu dağılımın modu 32" gömlektir.
Verilen gözlemler tercihen küçükten büyüğe sıralanırsa, gözlem sayısı tek ise medyan ortadaki gözlem olarak tanımlanır. Gözlem sayısı çift ise ortadaki iki gözlemin ortalaması ortancadır. Bu nedenle medyanın üstünde ve altında eşit sayıda gözlem olacaktır.
Eğer gözlem sayısı n ise o zaman
Medyan = n tek ise \(\frac{(n + 1)}{2 }\) inci gözlemin değeri
= n çift ise \(\frac{n}{2}\) th ve \((\frac{n}{2} + 1)\) th gözlemlerinin ortalaması
Örnek 1: Değerlerin medyanını belirleyin: 15, 6, 7, 14, 8, 10, 12
Verileri artan sırada düzenleyin: 6, 7, 8, 10, 12, 14, 15.
n 7 olduğu için medyan (7+1)∕2 = 4. gözlemin değeridir. 10 medyandır.
Örnek 2: Değerlerin medyanını bulun: 30, 32, 36, 25, 28, 29, 31, 40
Verileri artan sırada düzenleyin: 25, 28, 29, 30, 31, 32, 36, 40
n 8 olduğu için medyan 4. ve 5. gözlemin ortalamasıdır. = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30,5
En iyi merkezi eğilim ölçüsü nedir?
Ortalama, en sık kullanılan merkezi eğilim ölçüsüdür çünkü ortalamayı hesaplamak için veri setindeki tüm değerleri kullanır. Ancak verilerinizin aykırı değerlere sahip olduğu durumlarda medyan daha iyi bir seçenektir. Aykırı değerler, sayısal değer olarak özellikle küçük veya büyük olmak üzere veri setinin geri kalanına kıyasla olağandışı değerlerdir. Mod, sıralanamayan kategorik veriler için kullanabileceğiniz tek ölçüdür.
