اصطلاح 'اوسط' سے مراد 'وسط' یا 'مرکزی' نقطہ ہے۔ اصطلاح سے مراد ایک عدد ہے جو اعداد کے گروپ یا ڈیٹا سیٹ کی مخصوص نمائندگی ہے۔ اوسط کا حساب مختلف طریقوں سے لگایا جا سکتا ہے، یہاں ہم سب سے زیادہ استعمال ہونے والے کا احاطہ کر رہے ہیں: اوسط، اوسط اور موڈ۔ جب اصطلاح 'اوسط' کو ریاضی کے معنی میں استعمال کیا جاتا ہے، تو یہ عام طور پر مطلب کی طرف اشارہ کرتا ہے، خاص طور پر جب کوئی اور معلومات نہیں دی جاتی ہیں۔ مرکزی رجحان مطلب، میڈین اور موڈ کا حوالہ دینے کے لیے زیادہ مناسب لفظ ہے۔ مرکزی رجحان کا ایک پیمانہ ایک واحد قدر ہے جو ڈیٹا کے اس سیٹ کے اندر مرکزی پوزیشن کی شناخت کرکے ڈیٹا کے سیٹ کو بیان کرنے کی کوشش کرتا ہے۔
غیر گروپ شدہ یا خام ڈیٹا کا اوسط تمام مشاہدات کو شامل کرکے اور کل کو مشاہدات کی تعداد سے تقسیم کرکے حاصل کیا جاتا ہے۔ اگر x 1 , x 2 , x 3 ,...x n n مشاہدات ہوں تو ان کا اوسط \(\bar x\) سے ظاہر ہوتا ہے۔
\(\bar x = \frac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n} = \frac{\sum x}{n}\)
اوسط = مشاہدات کا مجموعہ/مشاہدات کی تعداد
مثال 1: آٹھویں جماعت کے طلباء کے حاصل کردہ نمبر 3، 5، 7، 10، 4، 6، 8 اور 9 ہیں۔ اوسط نمبروں کا تعین کریں۔
کلاس میں طلباء کی تعداد 8 ہے۔
حاصل کردہ نمبروں کا مجموعہ، \(\sum x = 3 + 5 + 7 + 10 + 4 + 6 + 8 + 9 = 52\)
∴ \(\bar x = \frac{52}{8} = 6.5\)
مثال 2: اگر 9، 14، x + 3، 12، 2x - 1 اور 3 کا اوسط 9 ہے۔ x کی قدر تلاش کریں۔
مشاہدے کی تعداد 6 ہے۔
\(\sum x = 9 + 13+ x + 3 + 12 + 2x - 1 + 3\\ \sum x =39 + 3x\)
\(\frac{39 + 3x} {6} = 9\) => 3x = 54 - 39 => 3x = 15
∴ x = 5
ٹیبلیٹڈ ڈیٹا کا ریاضی کا مطلب
اگر n مشاہدات کی تعدد x 1 , x 2 , x 3 , ...x n بالترتیب f 1 , f 2 , f 3 ,...f n ہو تو ان کا \(\bar x\) ہے
\(\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+f_3x_3+...+f_nx_n}{f_1+f_2+f_3+...+f_n} \)
\(\bar x= \frac{\sum fx}{\sum f}\)
مثال 1: درج ذیل تقسیم کے لیے وسط تلاش کریں۔
| ایکس | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| f | 4 | 8 | 14 | 11 | 3 |
حل:
| ایکس | f | fx |
| 5 | 4 | 20 |
| 6 | 8 | 48 |
| 7 | 14 | 98 |
| 8 | 11 | 88 |
| 9 | 3 | 27 |
| \(\sum f = 40\) | \(\sum fx = 281\) |
\(\bar x= \frac{281}{40} = 7.025\)
شماریاتی ڈیٹا کا موڈ وہ تغیر ہے جو اکثر ہوتا ہے۔ اس طرح، موڈ اس متغیر کی قدر ہے جس کی زیادہ سے زیادہ تعدد ہے۔ مثال کے طور پر، درج ذیل ڈیٹا میں 2، 3، 4، 5، 4، 4، 5، 3، 7
نمبر 4 3 بار (زیادہ سے زیادہ) ہوتا ہے لہذا 4 اس سیریز کا موڈ ہے۔
یہ ضروری نہیں ہے کہ ڈیٹا میں صرف ایک موڈ ہو۔ آئیے چند مثالیں دیکھتے ہیں:
مثال 1: درج ذیل ڈیٹا کا موڈ تلاش کریں: 2، 3، 8، 9، 4
چونکہ ہر نمبر صرف ایک بار آتا ہے اور اس لیے اس کا کوئی موڈ نہیں ہے۔
مثال 2: ڈیٹا میں 2، 2، 2، 3، 4، 4، 6، 6، 6، 7- 2 اور 6 دونوں موڈ ہیں۔
مثال 3: درج ذیل ڈیٹا کا موڈ تلاش کریں:
| قمیض کا سائز (انچ میں) | 32 | 34 | 36 | 40 |
| فروخت شدہ شرٹس کی تعداد | 45 | 35 | 15 | 40 |
تعدد کی تقسیم میں، موڈ اس متغیر کی قدر ہے جس کی تعدد سب سے زیادہ ہے۔ اس تقسیم کا موڈ 32 انچ کی قمیض ہے۔
اگر دیے گئے مشاہدات کو ترتیب سے ترتیب دیا جائے، ترجیحاً چھوٹے سے بڑے تک، اگر مشاہدات کی تعداد طاق ہو تو درمیانی کو درمیانی مشاہدے کے طور پر بیان کیا جاتا ہے۔ اگر مشاہدات کی تعداد یکساں ہے تو دو درمیانی مشاہدات کا اوسط میڈین ہے۔ اس لیے میڈین کے اوپر اور نیچے مشاہدات کی یکساں تعداد ہوگی۔
اگر مشاہدات کی تعداد n ہے تو
میڈین = قدر \(\frac{(n + 1)}{2 }\) ویں مشاہدے کی اگر n طاق ہو
= کا مطلب \(\frac{n}{2}\) ویں اور \((\frac{n}{2} + 1)\) ویں مشاہدات اگر n برابر ہے
مثال 1: اقدار کے درمیانی درجے کا تعین کریں: 15، 6، 7، 14، 8، 10، 12
ڈیٹا کو صعودی ترتیب میں ترتیب دیں: 6، 7، 8، 10، 12، 14، 15۔
چونکہ n 7 ہے اس لیے میڈین (7+1)∕2 = 4 ویں مشاہدے کی قدر ہے۔ 10 میڈین ہے۔
مثال 2: قدروں کا میڈین تلاش کریں: 30، 32، 36، 25، 28، 29، 31، 40
ڈیٹا کو صعودی ترتیب میں ترتیب دیں: 25، 28، 29، 30، 31، 32، 36، 40
جیسا کہ n 8 ہے لہذا میڈین 4 ویں اور 5 ویں مشاہدے کا اوسط ہے۔ = (30 + 31) ∕ 2 = 61/2 = 30.5
مرکزی رجحان کا بہترین پیمانہ کیا ہے؟
اوسط مرکزی رجحان کا سب سے زیادہ استعمال ہونے والا پیمانہ ہے کیونکہ یہ اوسط کا حساب لگانے کے لیے ڈیٹا سیٹ میں موجود تمام اقدار کا استعمال کرتا ہے۔ لیکن ان صورتوں میں جہاں آپ کے ڈیٹا میں آؤٹ لیرز ہوتے ہیں، میڈین ایک بہتر آپشن ہے۔ آؤٹ لیرز وہ قدریں ہیں جو عددی قدر میں خاص طور پر چھوٹے یا بڑے ہونے کی وجہ سے سیٹ کردہ باقی ڈیٹا کے مقابلے میں غیر معمولی ہیں۔ موڈ واحد پیمانہ ہے جسے آپ واضح ڈیٹا کے لیے استعمال کر سکتے ہیں جس کا آرڈر نہیں دیا جا سکتا۔
